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Una Bola es un sistema $ V^n $ de puntos, $ x $, en un espacio euclidiano $ E^n $ a una distancia de un punto dado $ x_0 $, que llamaremos centro de la bola, menor que $ R $ ( si la bola es una bola abierta, $ V^{\sigma n} $) o igual que $ R $ (si es una bola cerrada $ V^n $), siendo R el radio de la bola.

$ V^{\sigma n} (V^n)= ${$ x \in E^n : \rho (x,x_0)<R(\le R) $}

$ V^1 $ es un segmento, $ V^2 $ es un disco y para $ n>3 $ se suelle llamar hiperbola


Volumen Editar

El volumen de una bola es: $ V^n=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac {n}{2} +1)}\cdot R^n = \frac{S^{n-1}}{n} \cdot R $ donde $ S^{n-1} $ es la superficie del límite de la esfera y $ \Gamma $ la función gamma. En particular:

  • $ V^1=2R $
  • $ V^2=\pi R^2 $
  • $ V^3=\frac{4}{3} \pi R^3 $
  • $ V^4=\frac{1}{2} \pi ^2 R^4 $

Con el aumento de la dimensión, $ n $, el volumen de la bola "se concentra" en su superficie, $ \forall \quad R_1 < R_2 $

$ \lim_{n \to \infty} \frac{V^n(R_2)-V^n(R_1)}{V^n(R_2)} = 1 $