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Conexión extrínseca

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Sean \phi:\Omega \in \mathbb{R}^2 \to \Sigma \in \mathbb{R}^3 un mapeo definido por la imagen de \phi, a\in \Omega tal que \phi(a)= p \in \Sigma y \partial_{i} = J\phi \vert _{a}e_{i}, donde \mathbb{R}^2=\langle \lbrace e_{i}\rbrace \rangle para i=1, 2 y \partial_{i} es la derivada de \phi respecto a las dos variables de entrada, que geométricamente representan dos vectores tangentes unitarios a la superficie en p.

Así la conexión extrínseca D_{\partial_{i}}\partial_{i} es definida como la derivada covariante entre los \partial_{i} si y sólo si \lbrace \partial_{i}, D_{\partial_{i}}\partial_{i}, \rbrace son linealmente independientes, es decir, fuera del plano tangente a la superficie en p, de lo contrario, si D_{\partial_{i}}\partial_{i} está sobre dicho plano, recibe el nombre de conexión intrínseca.

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