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Es la proyección de la conexión extrínseca sobre el plano tangente a una superficie. Se representa mediante la Ecuación de Gauss \nabla_{\partial_{i}}\partial_{i} = D_{\partial_{i}}\partial_{i} - \langle \mathbf{\hat{n}}, D_{\partial_{i}}\partial_{i}\rangle\mathbf{\hat{n}} donde \mathbf{\hat{n}} = \frac{\partial_{1}\times \partial_{2}}{\vert \partial_{1}\times \partial_{2} \vert}.

El plano tangente en en el punto p sobre la superficie \Sigma, T_{p}\Sigma = \langle \lbrace \partial_{i} \rbrace \rangle, así la conexión intrínseca es escrita en combinación lineal de los generadores del plano tangente como

\nabla_{\partial_{i}}\partial_{i} = \Gamma_{ij}^{s}\partial_{s}

donde \Gamma_{ij}^{s} son los coeficientes de conección o Símbilos de Christoffel de segundo orden. Esta indica cómo varía \partial_{i} respecto a \partial_{i}.

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