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Se llama derivada de una función al siguiente límite:

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

por lo tanto si el límite existe, entonces la función es derivable en ese punto.

Interpretación Geométrica Editar

Derivative.png

Interpretación geométrica

Si hacemos un cambio de variable, tal que \Delta x = h, el límite queda:

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Como podemos ver en el dibujo, habrá una recta secante que cortará la función en f(x) y en f(x+h). Si hacemos que h tienda a 0, hacemos que los puntos de corte cada vez sean más cercanos uno del otro hasta que en el límite los dos puntos coinciden. Por lo tanto como podemos ver la derivdada de una función en un punto, es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Ejemplo Editar

Calcula la pendiente de la recta tangente a la curva y=2x^{2}+5x para cualquier punto en general.

Realizamos el límite:


f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{2(x+h)^{2}+5(x+h)-2x^{2}-5x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2(x^2+2xh+h^2)+5x+5h-2x^{2}-5x}{h}=
\lim_{h\to 0}\frac{2x^2+4xh+2h^2+5x+5h-2x^{2}-5x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{4xh+2h^2+5h}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h(4x+2h+5)}{h}=
\lim_{h\to 0}(4x+2h+5)=4x+5

Véase también Editar

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