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La derivada covariante estándar o conexión estándar de $ \mathbb{R}^n $ es un operador que es una generalización de la noción de derivada direccional y está definida para dos campos vectoriales definidos en alguna región abierta de $ \mathbb{R}^n $.

Más preciso, si $ \Omega $ es un abierto conexo de $ \mathbb{R}^n $ y $ X,Y:\Omega\to\mathbb{R}^n $ un par de campos vectoriales entonces su conexión es:

$ D_XY=(JY)X $

donde $ JY $ es el jacobiano de Y. Note que en términos de componentes $ JY $ es una matriz cuyas filas son los gradientes de los componentes de Y que al multiplicar $ (JY)X $ tendremos un vector cuyos componentes son las derivadas direccionales de los componentes de Y en dirección X.

Si X tiene componentes $ X^i $ y Y tiene $ Y^i $ entonces $ (JY)X $ tiene componentes $ {\rm grad}Y^i\bullet X $ o bien

$ \frac{\partial Y^i}{\partial u^s}X^s $ s-suma

es decir

$ \frac{\partial Y^i}{\partial u^1}X^1+\frac{\partial Y^i}{\partial u^2}X^2+\cdots+\frac{\partial Y^i}{\partial u^n}X^n $

PropiedadesEditar

El operador $ D_XY $ satisface las siguientes leyes

  1. $ D_{X_1+X_2}Y=D_{X_1}Y+D_{X_2}Y $
  2. $ D_X{Y_1+Y_2}=D_XY_1+D_XY_2 $
  3. $ D_{fX}Y=fD_XY $
  4. $ D_X fY=(Xf)Y+fD_XY $
  5. $ [X,Y]=D_XY-D_YX $
  6. $ X(Y\bullet Z)=D_XY\bullet Z+Y\bullet D_XZ $


En tres dimensionesEditar

Este operador es utilizado en $ \mathbb{R}^3 $ para el estudio de las superficies encajadas en él. Se pueden ver relativamente fácil que en general el vector $ D_XY $ no necesariamente es coplanar al subespacio generado por X y Y. Pero haciendo la proyección ortogonal de $ D_XY $ es este subespacio. Si designamos con $ \nabla_XY $ tal proyección entonces uno puede calcular que

$ \nabla_XY=D_XY-\langle n,D_XY\rangle n $

donde $ n=\frac{X\times Y}{||X\times Y||} $ es la normal al subespacio generado por X y Y. La relación: $ \nabla_XY=D_XY-\langle n,D_XY\rangle n $, es llamada la ecuación de Gauss.