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Derivada covariante estándar

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La derivada covariante estándar o conexión estándar de \mathbb{R}^n es un operador que es una generalización de la noción de derivada direccional y está definida para dos campos vectoriales definidos en alguna región abierta de \mathbb{R}^n.

Más preciso, si \Omega es un abierto conexo de \mathbb{R}^n y X,Y:\Omega\to\mathbb{R}^n un par de campos vectoriales entonces su conexión es:

D_XY=(JY)X

donde JY es el jacobiano de Y. Note que en términos de componentes JY es una matriz cuyas filas son los gradientes de los componentes de Y que al multiplicar (JY)X tendremos un vector cuyos componentes son las derivadas direccionales de los componentes de Y en dirección X.

Si X tiene componentes X^i y Y tiene Y^i entonces (JY)X tiene componentes {\rm grad}Y^i\bullet X o bien

\frac{\partial Y^i}{\partial u^s}X^s s-suma

es decir

\frac{\partial Y^i}{\partial u^1}X^1+\frac{\partial Y^i}{\partial u^2}X^2+\cdots+\frac{\partial Y^i}{\partial u^n}X^n

PropiedadesEditar

El operador D_XY satisface las siguientes leyes

  1. D_{X_1+X_2}Y=D_{X_1}Y+D_{X_2}Y
  2. D_X{Y_1+Y_2}=D_XY_1+D_XY_2
  3. D_{fX}Y=fD_XY
  4. D_X fY=(Xf)Y+fD_XY
  5. [X,Y]=D_XY-D_YX
  6. X(Y\bullet Z)=D_XY\bullet Z+Y\bullet D_XZ


En tres dimensionesEditar

Este operador es utilizado en \mathbb{R}^3 para el estudio de las superficies encajadas en él. Se pueden ver relativamente fácil que en general el vector D_XY no necesariamente es coplanar al subespacio generado por X y Y. Pero haciendo la proyección ortogonal de D_XY es este subespacio. Si designamos con \nabla_XY tal proyección entonces uno puede calcular que

\nabla_XY=D_XY-\langle n,D_XY\rangle n

donde n=\frac{X\times Y}{||X\times Y||} es la normal al subespacio generado por X y Y. La relación: \nabla_XY=D_XY-\langle n,D_XY\rangle n, es llamada la ecuación de Gauss.

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