Derivada covariante estándar

La derivada covariante estándar o conexión estándar de $\R^n$ es un operador que es una generalización de la noción de derivada direccional y está definida para dos campos vectoriales definidos en alguna región abierta de $\R^n$.

Más preciso, si $\Omega$ es un abierto conexo de $\R^n$ y $X,Y:\Omega\to\mathbb{R}^n$ un par de campos vectoriales entonces su conexión es:

$D_XY=(JY)X$

donde $JY$ es el jacobiano de Y. Note que en términos de componentes $JY$ es una matriz cuyas filas son los gradientes de los componentes de Y que al multiplicar $(JY)X$ tendremos un vector cuyos componentes son las derivadas direccionales de los componentes de Y en dirección X.

Si X tiene componentes $X^i$ y Y tiene $Y^i$ entonces $(JY)X$ tiene componentes ${\rm grad}Y^i\bullet X$ o bien

$\frac{\partial Y^i}{\partial u^s}X^s$ s-suma

es decir

$\frac{\partial Y^i}{\partial u^1}X^1+\frac{\partial Y^i}{\partial u^2}X^2+\cdots+\frac{\partial Y^i}{\partial u^n}X^n$

Propiedades

El operador $D_XY$ satisface las siguientes leyes

1. $D_{X_1+X_2}Y=D_{X_1}Y+D_{X_2}Y$
2. $D_X{Y_1+Y_2}=D_XY_1+D_XY_2$
3. $D_{fX}Y=fD_XY$
4. $D_X fY=(Xf)Y+fD_XY$
5. $[X,Y]=D_XY-D_YX$
6. $X(Y\bullet Z)=D_XY\bullet Z+Y\bullet D_XZ$

En tres dimensiones

Este operador es utilizado en $\mathbb R^{3}$ para el estudio de las superficies encajadas en él. Se pueden ver relativamente fácil que en general el vector $D_XY$ no necesariamente es coplanar al subespacio generado por X y Y. Pero haciendo la proyección ortogonal de $D_XY$ es este subespacio. Si designamos con $\nabla_XY$ tal proyección entonces uno puede calcular que

$\nabla_XY=D_XY-\langle n,D_XY\rangle n$

donde $n=\frac{X\times Y}{||X\times Y||}$ es la normal al subespacio generado por X y Y. La relación: $\nabla_XY=D_XY-\langle n,D_XY\rangle n$, es llamada la ecuación de Gauss.