Sean Ω {\displaystyle \Omega} un conjunto abierto de R n {\displaystyle \R^n} y X , Y : Ω → R n {\displaystyle X,Y:\Omega\to\mathbb{R}^n} funcionales diferenciables. La derivada covariante estandar se define como D X Y = J ( Y ) X {\displaystyle D_{X}Y = J(Y)X} donde J ( Y ) {\displaystyle J(Y)} es el jacobiano.
En símbolos
D X ( Y ) = [ J ( Y ) ] X [ ∂ Y 1 ∂ x 1 ∂ Y 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ Y 1 ∂ x n ∂ Y 2 ∂ x 1 ∂ Y 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ Y 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ Y n ∂ x 1 ∂ Y n ∂ x 2 ⋯ ∂ Y n ∂ x n ] [ X 1 X 2 ⋮ X n ] = [ X ⋅ g r a d Y 1 X ⋅ g r a d Y 2 ⋮ X ⋅ g r a d Y n ] {\displaystyle D_{X}(Y) = [J(Y)]X\begin{bmatrix} \frac{\partial Y^{1}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial Y^{1}}{\partial x^{2}} & \cdots & \frac{\partial Y^{1}}{\partial x^{n}}\\ \frac{\partial Y^{2}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial Y^{2}}{\partial x^{2}} & \cdots & \frac{\partial Y^{2}}{\partial x^{n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial Y^{n}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial Y^{n}}{\partial x^{2}} & \cdots & \frac{\partial Y^{n}}{\partial x^{n}}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X^{1} \\ X^{2} \\ \vdots \\ X^{n} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} X \cdot grad Y^{1} \\ X \cdot grad Y^{2} \\ \vdots \\ X \cdot grad Y^{n} \\ \end{bmatrix} }
cuyo resultado es una matriz de n x 1 conocida como conexión extrínseca.
un conjunto abierto de 
y 
funcionales diferenciables. La derivada covariante estandar se define como 
donde 
es el jacobiano.
![{\displaystyle D_{X}(Y)=[J(Y)]X{\begin{bmatrix}{\frac {\partial Y^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial Y^{1}}{\partial x^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial Y^{1}}{\partial x^{n}}}\\{\frac {\partial Y^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial Y^{2}}{\partial x^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial Y^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial Y^{n}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial Y^{n}}{\partial x^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial Y^{n}}{\partial x^{n}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X^{1}\\X^{2}\\\vdots \\X^{n}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X\cdot gradY^{1}\\X\cdot gradY^{2}\\\vdots \\X\cdot gradY^{n}\\\end{bmatrix}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/add65dca7d64cbd282a025947837d7877de82582)