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Derivada covariante estandar

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Sean \Omega un conjunto abierto de \mathbb{R}^n y X,Y:\Omega \to \mathbb{R}^n funcionales diferenciables. La derivada covariante estandar se define como D_{X}Y = J(Y)X donde J(Y) es el jacobiano.

En símbolos

D_{X}(Y) = [J(Y)]X\begin{bmatrix}
    \frac{\partial Y^{1}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial Y^{1}}{\partial x^{2}} & \cdots & \frac{\partial Y^{1}}{\partial x^{n}}\\
    \frac{\partial Y^{2}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial Y^{2}}{\partial x^{2}} & \cdots & \frac{\partial Y^{2}}{\partial x^{n}}\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
    \frac{\partial Y^{n}}{\partial x^{1}} & \frac{\partial Y^{n}}{\partial x^{2}} & \cdots & \frac{\partial Y^{n}}{\partial x^{n}}\\
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    X^{1} \\
    X^{2} \\
    \vdots \\
    X^{n} \\
  \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
    X \cdot grad Y^{1} \\
    X \cdot grad Y^{2} \\
    \vdots \\
    X \cdot grad Y^{n} \\
  \end{bmatrix}

cuyo resultado es una matriz de n x 1 conocida como conexión extrínseca.

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