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Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama determinante de A, y se escribe $ det(A) $ o $ |A| $, al número obtenido como suma de todos los posibles productos de n elementos de la matriz, de manera que en cada producto aparece necesariamente uno y sólo un elemento de cada fila y de cada columna; además el signo de cada producto será más si las permutaciones de los subíndices de las filas y de las columnas son de la misma clase, y será menos si lo son de distinta. Matemáticamente, se escribe:

$ |A|=det(A)=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nm}\\ \end{vmatrix} =\sum_{(i_{1},i_{2},i_{3}\cdots , i_{n}) \in P_{n}} (-1)^{\sigma}a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}a_{3i_{3}}\cdots a_{ni_{n}} $

$ P_{n} $ representa el conjunto de las n! permutaciones de {1,2,3...n}, y el signo $ (-1)^{\sigma}=\pm 1 $ es la signatura de la permutación $ (i_{1}, i_{2}, i_{3}\cdots , i_{n}) $.

Como se puede observar el determeninante es una función que asocia a cada matriz cuadrada un número real, es decir:

$ det:\mathcal{M} _{n}\to \mathbb{R} $

Determinantes de orden dos Editar

$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}. $

Determinantes de orden tres Editar

$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} $.

Esta forma de obtener el determinante de la matriz 3x3 se llama regla de Sarrus.