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Sean $ F $ y $ G $ dos puntos fijos y sea $ k $ un número mayor que la distancia entre ambos. La elipse es el lugar geométrico de los puntos $ P $ que verifican:

$ d(P,F)+d(P,G)=k $

Definiciones Editar

  • Los puntos $ F $ y $ G $ se llaman focos de la elipse.
  • Se llaman ejes de la elipse a la recta que une los focos y a la recta mediatriz del segmento determinado por éstos.
  • Se llama centro de la elipse al punto medio del segmento determinado por los focos.

Ecuación de la elipse Editar

Elipse

Elipse

Para deducir la ecuación de la elipse, se llama $ k=2a $, y se sitúan los focos en los puntos $ F=(c,0) $ y $ G=(-c,0) $. Por tanto, el centro está situado en el origen de coordenadas. Se supone que $ c<a $ para que se verifique la condición sobre $ k $, es decir, que sea mayor que la distancia entre los focos. Un punto genérico $ P=(x,y) $ de la elipse debe satisfacer $ d(P,F)+d(P,G)=2a $. Por tanto:

$ \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a $

transponiendo el segundo término y elevando al cuadrado:

$ (x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} $

al operar resulta:

$ 4xc=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} $

de forma equivalente:

$ a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-xc $.

Elevando al cuadrado de nuevo se obtiene:

$ a^2(x^2+c^2-2xc)+a^{2}y^{2}=a^4+x^{2}c^{2}-2a^{2}xc; \qquad x^2(a^2-c^2)+a^{2}y^{2}=a^2(a^2-c^2) $.

Al dividir entre $ a^2(a^2-c^2) $:

$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 $.

Al valor $ a^2-c^2 $ se le suele denominar $ b^2 $, de modo que la ecuación se escribe:

$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $.