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Sean F y G dos puntos fijos y sea k un número mayor que la distancia entre ambos. La elipse es el lugar geométrico de los puntos P que verifican:

d(P,F)+d(P,G)=k

Definiciones Editar

  • Los puntos F y G se llaman focos de la elipse.
  • Se llaman ejes de la elipse a la recta que une los focos y a la recta mediatriz del segmento determinado por éstos.
  • Se llama centro de la elipse al punto medio del segmento determinado por los focos.

Ecuación de la elipse Editar

Elipse

Elipse

Para deducir la ecuación de la elipse, se llama k=2a, y se sitúan los focos en los puntos F=(c,0) y G=(-c,0). Por tanto, el centro está situado en el origen de coordenadas. Se supone que c<a para que se verifique la condición sobre k, es decir, que sea mayor que la distancia entre los focos. Un punto genérico P=(x,y) de la elipse debe satisfacer d(P,F)+d(P,G)=2a. Por tanto:

\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a

transponiendo el segundo término y elevando al cuadrado:

(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}

al operar resulta:

4xc=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}

de forma equivalente:

a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-xc.

Elevando al cuadrado de nuevo se obtiene:

a^2(x^2+c^2-2xc)+a^{2}y^{2}=a^4+x^{2}c^{2}-2a^{2}xc; \qquad x^2(a^2-c^2)+a^{2}y^{2}=a^2(a^2-c^2).

Al dividir entre a^2(a^2-c^2):

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1.

Al valor a^2-c^2 se le suele denominar b^2, de modo que la ecuación se escribe:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.

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