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Espacio vectorial

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Suponemos que V es un conjunto no vacío y que (K, +, \times) tiene estructura de cuerpo. Los elementos de V se representan como \vec x, \vec y ... y a los de K como \alpha , \beta , \gamma \ldots . Se dice que V tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K si se verifican las siguientes condiciones:

  1. Existe cerradura para +: No se pudo entender (error léxico): \forall \: \vec x, \vec y \in V, \: \vec x + \vec y \in V
  1. Existe conmutatividad: No se pudo entender (error léxico): \forall \: \vec x, \vec y \in V, \: \vec x+ \vec y = \vec y + \vec x
  1. Existe asociatividad de +: No se pudo entender (error léxico): \forall \: \vec x , \vec y, \vec z \in V, \: (\vec x +\vec y)+\vec z=\vec x +(\vec y + \vec z)
  1. Existe el neutro aditivo: No se pudo entender (error léxico): \exists\: \vec 0 \in V \forall\: \vec x \in V \Rightarrow \vec x+\vec 0=\vec 0+\vec x=\vec x
  1. Existe el inverso aditivo: No se pudo entender (error léxico): \forall \vec x \in V, \exists \: \vec {-x} \in V \Rightarrow \vec x+\vec {-x} = \vec {-x} + \vec x = \vec 0


2. Existe una ley de composición externa entre los elementos de K y de V. \forall \lambda \in K,\quad \forall \vec x \in V:
\lambda \cdot \vec x \in V
  • Distributiva respecto a la suma de elementos en K: \forall \lambda , \beta \in K, \quad \forall \vec x \in V
(\lambda + \beta)\cdot \vec x=\lambda \cdot \vec x + \beta \cdot \vec x
  • Distributiva respecto a la suma de elementos de V: \forall \lambda \in K, \quad \forall \vec x , \vec y \in V
\lambda \cdot (\vec x +\vec y)=\lambda \cdot \vec x + \lambda \cdot \vec y.
  • Asociativa respecto al producto de escalares: \forall \lambda , \beta \in K, \quad \forall \vec x \in V
(\lambda \cdot \beta)\cdot \vec x = \lambda \cdot (\beta \cdot \vec x)
  • Si llamamos 1 al elemento neutro respecto del producto en K: \forall \vec x \in V
1\cdot \vec x = \vec x

brevementeEditar

Podemos decir que un espacio vectorial es un grupo abeliano donde actúa un cuerpo de escalares y que se satisface:

a(x+y)=ax+ay
(a+b)x=ax+bx
a(bx)=(ab)x
1x=x

para cualquiera a, b escalares y x,y vectores.

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