FANDOM

176 Páginas

Suponemos que $ V $ es un conjunto no vacío y que $ (K, +, \times) $ tiene estructura de cuerpo. Los elementos de $ V $ se representan como $ \vec x, \vec y ... $ y a los de $ K $ como $ \alpha , \beta , \gamma \ldots $. Se dice que $ V $ tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo $ K $ si se verifican las siguientes condiciones:

  1. Existe cerradura para $ + $: $ \forall \: \vec x, \vec y \in V, \: \vec x + \vec y \in V $
  2. Existe conmutatividad: $ \forall \: \vec x, \vec y \in V, \: \vec x+ \vec y = \vec y + \vec x $
  3. Existe asociatividad de $ + $: $ \forall \: \vec x , \vec y, \vec z \in V, \: (\vec x +\vec y)+\vec z=\vec x +(\vec y + \vec z) $
  4. Existe el neutro aditivo: $ \exists\: \vec 0 \in V \forall\: \vec x \in V \Rightarrow \vec x+\vec 0=\vec 0+\vec x=\vec x $
  5. Existe el inverso aditivo: $ \forall \vec x \in V, \exists \: \vec {-x} \in V \Rightarrow \vec x+\vec {-x} = \vec {-x} + \vec x = \vec 0 $
2. Existe una ley de composición externa entre los elementos de $ K $ y de $ V $. $ \forall \lambda \in K,\quad \forall \vec x \in V $:
$ \lambda \cdot \vec x \in V $
  • Distributiva respecto a la suma de elementos en $ K $: $ \forall \lambda , \beta \in K, \quad \forall \vec x \in V $
$ (\lambda + \beta)\cdot \vec x=\lambda \cdot \vec x + \beta \cdot \vec x $
  • Distributiva respecto a la suma de elementos de $ V $: $ \forall \lambda \in K, \quad \forall \vec x , \vec y \in V $
$ \lambda \cdot (\vec x +\vec y)=\lambda \cdot \vec x + \lambda \cdot \vec y $.
  • Asociativa respecto al producto de escalares: $ \forall \lambda , \beta \in K, \quad \forall \vec x \in V $
$ (\lambda \cdot \beta)\cdot \vec x = \lambda \cdot (\beta \cdot \vec x) $
  • Si llamamos 1 al elemento neutro respecto del producto en $ K $: $ \forall \vec x \in V $
$ 1\cdot \vec x = \vec x $

brevementeEditar

Podemos decir que un espacio vectorial es un grupo abeliano donde actúa un cuerpo de escalares y que se satisface:

$ a(x+y)=ax+ay $
$ (a+b)x=ax+bx $
$ a(bx)=(ab)x $
$ 1x=x $

para cualquiera a, b escalares y x,y vectores.