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Formas fundamentales

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Sea \phi: \mathbb{R}^2 \hookrightarrow \mathbb{R}^3 la parametrización de una superficie dada por la imagen de \phi. Sea a \in \Omega \subseteq \mathbb{R}^2 un punto tal que \phi(a) = p \in \Sigma \subseteq \mathbb{R}^3.

Sea \partial_{i} = \phi_{,i}=\frac{\partial\phi}{\partial x^i}, para i = 1,2, la primera derivada de la parametrización respecto a las variables de entrada que, geométricamente, representan dos vectores tangentes a la superficie en un punto p. A la adición de estos dos vectores se le denomina diferencial total, d\phi = \phi_{i}d^{i}.

Se denomian los coeficientes de la primera forma fundamental a E=\langle\partial_{1}, \partial_{1}\rangle = g_{11}, F = \langle\partial_{1}, \partial_{2}\rangle = g_{12} = g_{21} y G =\langle\partial_{2}, \partial_{2}\rangle = g_{22}, que en notación matricial representa el tensor métrico [g_{ij}].

Sean \mathbf {\hat {n}} = \frac{\partial_{1} \times \partial_{2}}{\vert\partial_{1} \times \partial_{2}\vert} el vector normal unitario en p y \partial_{i,j}, para i,j = 1,2, las segundas derivadas de la paremetrización respecto a las variables de entrada. Se denominan coeficientes de la segunda forma fundamental de una superficie a L=\langle\partial_{1,1},\mathbf {\hat {n}} \rangle, M=\langle\partial_{1,2},\mathbf {\hat {n}} \rangle y N=\langle\partial_{2,2},\mathbf {\hat {n}} \rangle.

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