Wikia

Una curva en el espacio euclideano $\mathbb{R}^n$ es un mapeo $c:I\to\mathbb{R}^n$ que es diferenciable es decir si $c(t)=x^1(t)e_1+\cdots +x^n(t)e_n$ entonces la derivada

$c'(t)={x^1}'(t)e_1+\cdots +{x^n}'(t)e_n$

existe para cada elección de t en dominio $I$ .

Por ejemplo si $c(t)=\cos t e_1+ \sin te_2$ entonces $c'(t)=-\sin te_1+\cos te_2$ .

Otro, si $d(t)=\cos te_1+ \sin te_2+te_3$ entonces $d'(t)=-\sin te_1+ \cos t e_2+e_3$ . Respectivamente estos mapeos son parametrizaciones de un círculo de radio uno en el plano cartesiano $\mathbb{R}^2$ y una hélice en el espacio $\mathbb{R}^3$ . Aquí -círculo- es como en el inglés circle o francés cercle o alemán Kreis. Las derivadas son vectores tangente a la posición.

Arco-parametrizar una parametrización c, consiste en reemplazar el parámetro t por otro que satisface; $\|c'(s)\|=1$ .

Sabiendo que la longitud de una curva esta dada por la fórmula

$l=\int_I\|c'(t)\|dt$

entonces cuando c está arco-parametrizada la longitud l es igual a la longitud del intervalo $I$ . Dicho de otra manera el arco-parametro al mismo tiempo que indica la posición $c(s)$ , dice que la curva tiene longitud $b-a$ desde la posición $c(a)$ hasta $c(b)$ , cuando el intervalo es $I=[a,b]$ .

En el ejemplo de la curva helicoidal su derivada es $d'(t)=-\sin te_1+\cos te_2+e_3$ y cuyo módulo es $\|d'(t)\|=\sqrt{2}$ . Esto indica que d(t) no es una parametrización por longitud de arco. Para parametrizar por longitud de arco usamos el cambio de variable $t=\frac{s}{\sqrt{2}}$ , que proviiene del cálculo de la longitud de arco

$l=\int_0^t\|d'(u)\|du=\int_0^t\sqrt{2}du=\sqrt{2}t$

y convenir que la letra s indique el arco-parámetro en vez de l.

Otro ejemplo, una elipse se puede parametrizar así: $\alpha(t)=a\cos t e_1+b\sin te_2+e_3$ representa una elipse plana, en el plano $z=1$ .

Derivando, tenemos tangente

$\alpha'(t)=-a\sin te_1+b\cos te_2$

con módulo

$\|\alpha'(t)\|=\sqrt{a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t+1}$

de donde el arco-parámetro se obtiene de despejar

$s=\int_0^t\sqrt{a^2\cos^2 u+b^2\sin^2 u+1}du$

El triedro móvilEditar sección

Teniendo una curva $C(s)$ arco-pametrizada tendremos un vector tangente $\dot{C}(a)$ talque $\|\dot{C}(a)\|=1$ i.e. unitario que llamaremos $T(a)$ . El módulo de la segunda derivada $\|\ddot{C}(a)\|$ define la curvatura de C en a, por k(a). El vector $N(a)=\frac{\ddot{C}(a)}{k(a)}$ es un vector perpendicular a T(a) y unitario. Por lo que junto a $B(a)=T(a)\times N(a)$ tenemos un marco tridimensional $\{T(a),N(a),B(a)\}$ para cada posición $C(a)$

Wikia

Math

Geometría diferencial de curvas

El triedro móvilEditar sección

Últimas imágenes

Actividad Reciente