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Geometría diferencial de curvas

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Una curva en el espacio euclideano \mathbb{R}^n es un mapeo c:I\to\mathbb{R}^n que es diferenciable es decir si c(t)=x^1(t)e_1+\cdots +x^n(t)e_n entonces la derivada

c'(t)={x^1}'(t)e_1+\cdots +{x^n}'(t)e_n

existe para cada elección de t en dominio I.

Por ejemplo si c(t)=\cos t e_1+ \sin te_2 entonces c'(t)=-\sin te_1+\cos te_2.

Helicoid.PNG

Hélice

Otro, si d(t)=\cos te_1+ \sin te_2+te_3 entonces d'(t)=-\sin te_1+ \cos t e_2+e_3. Respectivamente estos mapeos son parametrizaciones de un círculo de radio uno en el plano cartesiano \mathbb{R}^2 y una hélice en el espacio \mathbb{R}^3. Aquí -círculo- es como en el inglés circle o francés cercle o alemán Kreis. Las derivadas son vectores tangente a la posición.

Arco-parametrizar una parametrización c, consiste en reemplazar el parámetro t por otro que satisface; \|c'(s)\|=1.

Sabiendo que la longitud de una curva esta dada por la fórmula

l=\int_I\|c'(t)\|dt

entonces cuando c está arco-parametrizada la longitud l es igual a la longitud del intervalo I. Dicho de otra manera el arco-parametro al mismo tiempo que indica la posición c(s), dice que la curva tiene longitud b-a desde la posición c(a) hasta c(b), cuando el intervalo es I=[a,b].

En el ejemplo de la curva helicoidal su derivada es d'(t)=-\sin te_1+\cos te_2+e_3 y cuyo módulo es \|d'(t)\|=\sqrt{2}. Esto indica que d(t) no es una parametrización por longitud de arco. Para parametrizar por longitud de arco usamos el cambio de variable t=\frac{s}{\sqrt{2}}, que proviiene del cálculo de la longitud de arco

l=\int_0^t\|d'(u)\|du=\int_0^t\sqrt{2}du=\sqrt{2}t

y convenir que la letra s indique el arco-parámetro en vez de l.


Otro ejemplo, una elipse se puede parametrizar así: \alpha(t)=a\cos t e_1+b\sin te_2+e_3 representa una elipse plana, en el plano z=1.

Derivando, tenemos tangente

\alpha'(t)=-a\sin te_1+b\cos te_2

con módulo

\|\alpha'(t)\|=\sqrt{a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t+1}

de donde el arco-parámetro se obtiene de despejar

s=\int_0^t\sqrt{a^2\cos^2 u+b^2\sin^2 u+1}du


El triedro móvilEditar

Teniendo una curva C(s) arco-pametrizada tendremos un vector tangente \dot{C}(a) talque \|\dot{C}(a)\|=1 i.e. unitario que llamaremos T(a). El módulo de la segunda derivada \|\ddot{C}(a)\| define la curvatura de C en a, por k(a). El vector N(a)=\frac{\ddot{C}(a)}{k(a)} es un vector perpendicular a T(a) y unitario. Por lo que junto a B(a)=T(a)\times N(a) tenemos un marco tridimensional \{T(a),N(a),B(a)\} para cada posición C(a) Hélice2.PNG

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