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Una curva en el espacio euclideano $ \mathbb{R}^n $ es un mapeo $ c:I\to\mathbb{R}^n $ que es diferenciable es decir si $ c(t)=x^1(t)e_1+\cdots +x^n(t)e_n $ entonces la derivada

$ c'(t)={x^1}'(t)e_1+\cdots +{x^n}'(t)e_n $

existe para cada elección de t en dominio $ I $.

Por ejemplo si $ c(t)=\cos t e_1+ \sin te_2 $ entonces $ c'(t)=-\sin te_1+\cos te_2 $.

Helicoid

Hélice

Otro, si $ d(t)=\cos te_1+ \sin te_2+te_3 $ entonces $ d'(t)=-\sin te_1+ \cos t e_2+e_3 $. Respectivamente estos mapeos son parametrizaciones de un círculo de radio uno en el plano cartesiano $ \mathbb{R}^2 $ y una hélice en el espacio $ \mathbb{R}^3 $. Aquí -círculo- es como en el inglés circle o francés cercle o alemán Kreis. Las derivadas son vectores tangente a la posición.

Arco-parametrizar una parametrización c, consiste en reemplazar el parámetro t por otro que satisface; $ \|c'(s)\|=1 $.

Sabiendo que la longitud de una curva esta dada por la fórmula

$ l=\int_I\|c'(t)\|dt $

entonces cuando c está arco-parametrizada la longitud l es igual a la longitud del intervalo $ I $. Dicho de otra manera el arco-parametro al mismo tiempo que indica la posición $ c(s) $, dice que la curva tiene longitud $ b-a $ desde la posición $ c(a) $ hasta $ c(b) $, cuando el intervalo es $ I=[a,b] $.

En el ejemplo de la curva helicoidal su derivada es $ d'(t)=-\sin te_1+\cos te_2+e_3 $ y cuyo módulo es $ \|d'(t)\|=\sqrt{2} $. Esto indica que d(t) no es una parametrización por longitud de arco. Para parametrizar por longitud de arco usamos el cambio de variable $ t=\frac{s}{\sqrt{2}} $, que proviiene del cálculo de la longitud de arco

$ l=\int_0^t\|d'(u)\|du=\int_0^t\sqrt{2}du=\sqrt{2}t $

y convenir que la letra s indique el arco-parámetro en vez de l.


Otro ejemplo, una elipse se puede parametrizar así: $ \alpha(t)=a\cos t e_1+b\sin te_2+e_3 $ representa una elipse plana, en el plano $ z=1 $.

Derivando, tenemos tangente

$ \alpha'(t)=-a\sin te_1+b\cos te_2 $

con módulo

$ \|\alpha'(t)\|=\sqrt{a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t+1} $

de donde el arco-parámetro se obtiene de despejar

$ s=\int_0^t\sqrt{a^2\cos^2 u+b^2\sin^2 u+1}du $


El triedro móvilEditar

Teniendo una curva $ C(s) $ arco-pametrizada tendremos un vector tangente $ \dot{C}(a) $ talque $ \|\dot{C}(a)\|=1 $ i.e. unitario que llamaremos $ T(a) $. El módulo de la segunda derivada $ \|\ddot{C}(a)\| $ define la curvatura de C en a, por k(a). El vector $ N(a)=\frac{\ddot{C}(a)}{k(a)} $ es un vector perpendicular a T(a) y unitario. Por lo que junto a $ B(a)=T(a)\times N(a) $ tenemos un marco tridimensional $ \{T(a),N(a),B(a)\} $ para cada posición $ C(a) $ Hélice2