Una curva en el espacio euclideano es un mapeo que es diferenciable es decir si
entonces la derivada
existe para cada elección de t en dominio .
Por ejemplo si entonces .
Otro, si entonces
. Respectivamente estos mapeos son parametrizaciones de un círculo de radio uno en el plano cartesiano y una hélice en el espacio . Aquí -círculo- es como en el inglés circle o francés cercle o alemán Kreis.
Las derivadas son vectores tangente a la posición.
Arco-parametrizar una parametrización c, consiste en reemplazar el parámetro t por otro que satisface; .
Sabiendo que la longitud de una curva esta dada por la fórmula
entonces cuando c está arco-parametrizada la longitud l es igual a la longitud del intervalo . Dicho de otra manera el arco-parametro al mismo tiempo que indica la posición , dice que la curva tiene longitud desde la posición hasta , cuando el intervalo es .
En el ejemplo de la curva helicoidal su derivada es y cuyo módulo es . Esto indica que d(t) no es una parametrización por longitud de arco.
Para parametrizar por longitud de arco usamos el cambio de variable
, que proviiene del cálculo de la longitud de arco
y convenir que la letra s indique el arco-parámetro en vez de l.
Otro ejemplo, una elipse se puede parametrizar así:
representa una elipse plana, en el plano .
Derivando, tenemos tangente
con módulo
de donde el arco-parámetro se obtiene de despejar
El triedro móvil[]
Teniendo una curva arco-pametrizada tendremos un vector tangente talque i.e. unitario que llamaremos . El módulo de la segunda derivada define la curvatura de C en a, por
k(a).
El vector es un vector perpendicular a T(a) y unitario.
Por lo que junto a tenemos un marco tridimensional para cada posición