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Una superficie regular puede ser vista como un mapeo diferenciable $\Phi:D\to {\mathbb{R}}^3$ cuyo jacobiano tiene rango máximo igual a dos y donde la región D vive en $\mathbb{R}^2$ . La función $\Phi=\Phi(v,w)=(x,y,z)$

Dicho de otra forma, la derivada

$J\Phi=\left( \begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w}\end{matrix}\right)$

debe tener las dos columnas linealmente independientes y es una matriz de funciones.

Evaluada en un punto particular a de D tendremos una matriz de números

$J\Phi|_a=\left( \begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial v}|_a&\frac{\partial x}{\partial w}|_a\\\frac{\partial y}{\partial v}|_a&\frac{\partial y}{\partial w}|_a\\ \frac{\partial z}{\partial v}|_a&\frac{\partial z}{\partial w}|_a\end{matrix}\right)$

En la geometría de superficies uno debe tratar de relacionar toda el álgebra lineal para construir toda la maquinaria del cálculo en ellas, pero considerando fenomenos de curvatura y es por esto que las superficies en $\mathbb{R}^3$ son un territorio excelente de experimentación álgebraica-topológica-geométrica...

Espacio tangenteEditar sección

Sea $\Sigma$ la superfcie que se parametriza con $\Phi$ . La condición de que el Jacobiano $J\Phi|_a$ tiene rango máximo, y mapea $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ , permite mandar los dos vectores básicos canónicos $e_1,\ e_2$ en dos vectores $\partial_1,\ \partial_2$ que sirven para generar un espacio vectorial bidimensional asociado a cada punto de la superficie que se simboliza por $T_p\Sigma$ . Este es llamado el espacio tangente de $\Sigma$ en p.

Operador de forma (Shape operator)Editar sección

Se puede definir un mapeo desde una superficie a la 2-esfera, $n:\Sigma\to S^2$ mediante la asignación $p\mapsto n(p)=\frac{\partial_1\times\partial_2}{\|\partial_1\times \partial_2\|}$ de la que se sabe que su derivada $Jn$ , es el mapeo de Weingarten, el cual es lineal y cuyo determinante informa sobre una curvatura de la superficie llamada la curvatura de Gauss

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Geometría diferencial de superficies

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