FANDOM

176 Páginas

Una superficie regular puede ser vista como un mapeo diferenciable $ \Phi:D\to {\mathbb{R}}^3 $ cuyo jacobiano tiene rango máximo igual a dos y donde la región D vive en $ \mathbb{R}^2 $. La función $ \Phi=\Phi(v,w)=(x,y,z) $

Dicho de otra forma, la derivada

$ J\Phi=\left( \begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w}\end{matrix}\right) $

debe tener las dos columnas linealmente independientes y es una matriz de funciones.

Evaluada en un punto particular a de D tendremos una matriz de números

$ J\Phi|_a=\left( \begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial v}|_a&\frac{\partial x}{\partial w}|_a\\\frac{\partial y}{\partial v}|_a&\frac{\partial y}{\partial w}|_a\\ \frac{\partial z}{\partial v}|_a&\frac{\partial z}{\partial w}|_a\end{matrix}\right) $

En la geometría de superficies uno debe tratar de relacionar toda el álgebra lineal para construir toda la maquinaria del cálculo en ellas, pero considerando fenomenos de curvatura y es por esto que las superficies en $ \mathbb{R}^3 $ son un territorio excelente de experimentación álgebraica-topológica-geométrica...

Espacio tangenteEditar

Sea $ \Sigma $ la superfcie que se parametriza con $ \Phi $. La condición de que el Jacobiano $ J\Phi|_a $ tiene rango máximo, y mapea $ \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 $, permite mandar los dos vectores básicos canónicos $ e_1,\ e_2 $ en dos vectores $ \partial_1,\ \partial_2 $ que sirven para generar un espacio vectorial bidimensional asociado a cada punto de la superficie que se simboliza por $ T_p\Sigma $. Este es llamado el espacio tangente de $ \Sigma $ en p.

Operador de forma (Shape operator)Editar

Se puede definir un mapeo desde una superficie a la 2-esfera, $ n:\Sigma\to S^2 $ mediante la asignación $ p\mapsto n(p)=\frac{\partial_1\times\partial_2}{\|\partial_1\times \partial_2\|} $ de la que se sabe que su derivada $ Jn $, es el mapeo de Weingarten, el cual es lineal y cuyo determinante informa sobre una curvatura de la superficie llamada la curvatura de Gauss