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Una superficie regular puede ser vista como un mapeo diferenciable \Phi:D\to {\mathbb{R}}^3 cuyo jacobiano tiene rango máximo igual a dos y donde la región D vive en \mathbb{R}^2. La función \Phi=\Phi(v,w)=(x,y,z)

Dicho de otra forma, la derivada

J\Phi=\left( \begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\
\frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w}\end{matrix}\right)

debe tener las dos columnas linealmente independientes y es una matriz de funciones.

Evaluada en un punto particular a de D tendremos una matriz de números

J\Phi|_a=\left( \begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial v}|_a&\frac{\partial x}{\partial w}|_a\\\frac{\partial y}{\partial v}|_a&\frac{\partial y}{\partial w}|_a\\
\frac{\partial z}{\partial v}|_a&\frac{\partial z}{\partial w}|_a\end{matrix}\right)

En la geometría de superficies uno debe tratar de relacionar toda el álgebra lineal para construir toda la maquinaria del cálculo en ellas, pero considerando fenomenos de curvatura y es por esto que las superficies en \mathbb{R}^3 son un territorio excelente de experimentación álgebraica-topológica-geométrica...

Espacio tangenteEditar

Sea \Sigma la superfcie que se parametriza con \Phi. La condición de que el Jacobiano J\Phi|_a tiene rango máximo, y mapea \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, permite mandar los dos vectores básicos canónicos e_1,\ e_2 en dos vectores \partial_1,\ \partial_2 que sirven para generar un espacio vectorial bidimensional asociado a cada punto de la superficie que se simboliza por T_p\Sigma. Este es llamado el espacio tangente de \Sigma en p.

Operador de forma (Shape operator)Editar

Se puede definir un mapeo desde una superficie a la 2-esfera, n:\Sigma\to S^2 mediante la asignación p\mapsto n(p)=\frac{\partial_1\times\partial_2}{\|\partial_1\times \partial_2\|} de la que se sabe que su derivada Jn, es el mapeo de Weingarten, el cual es lineal y cuyo determinante informa sobre una curvatura de la superficie llamada la curvatura de Gauss

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