Grupo

Un grupo es un magma (i.e. un conjunto, con una operación binaria), que satisface ciertos axiomas, detallados abajo. La rama de la matemática que estudia los grupos es llamada teoría de grupos.

Sea una estructura formada por un conjunto, X, sobre cuyos elementos se ha definido una operación, *, o ley de composición interna:

X x X → X

(x, y) → x*y

Si la operación verifica las siguientes propiedades, entonces se dice que la estructura (X;*) es un grupo con respecto a la operación *.

1. Asociativa: para todo x, y, z pertenecientes a X verifica :x*(y*z) = (x*y)*z

2. Existencia del Elemento Neutro: :x*e = e*x = x para todo x de X, siendo e el elemento neutro.

3. Existencia de Inverso (en caso de que la operación se denote aditivamente y no multiplicativamente, el término que se usa es Opuesto y el elemento neutro se denota 0): Para todo elemento x de X, existe otro elemento y de X, tal que:

x*y = y*x = e

Grupo conmutativo o abeliano

Se denomina grupo conmutativo o abeliano a aquel grupo que verifica la propiedad conmutativa, es decir que para todo x, y de X: :x*y = y*x

Notación

Usualmente se utiliza la notación de dos elementos del grupo $a, b \in G$ cuando los operamos, por $ab\,$.

Una palabra en un grupo es un producto finito de la forma: $g_1g_2... g_k$ para algunos $g_i$ de G

Una palabra se dice no reducida, si un par de factors consecutivos son de la forma $g_ig_i^{-1}$.

Por ejemplo, para las palabras:

$w_1=abcdk$, es reducida

$w_2=abb^{-1}ck^3$; no es reducida

$w_3=abcb^{-1}k^{-1}$; es reducida

$w_4=a^2bb^{-1}c^4kc$; no es reducida.

Las palabras

$w_2'=ack^3$,

$w_4'=a^2c^4kc$

si son reducidas y se dicen reducciones de $w_2$, $w_4$, repectivamente.

Si se tiene un conjunto $S=\{ s_1,s_2,...,s_k\}$ veremos que el conjunto $F(S)$ de todas las palabras usando el alfabeto $s_1, s_1^{-1},...,s_i, s_i^{-1},...,s_k, s_k^{-1}$ es un grupo.

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