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Limit

Límite

Siendo $ y=f(x) $ una función real de variable real, es decir:

$ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $
$ x\to y=f(x) $

Se dice que $ f(x) $ tiene límite en "l" cuando $ x\to a $, $ \lim_{x \to a}f(x) = L $ si y sólo si, cuando los valores de "x" se aproximan indefinidamente a "a", los valores de $ f(x) $ se aproximan indefinidamente a "l".

Simbólicamente:

$ \lim_{x \to a}f(x) = l \iff \forall \quad \varepsilon > 0 \quad \exists \quad \delta ( \varepsilon) >0\quad /\quad si \quad 0<|x-a|< \delta \to |f(x)-l|< \varepsilon $

Es decir, para todo epsilon mayor que 0 existe un delta que depende de epsilon y es mayor que cero, tal que, si los valores de "x" distan de "a" una cantidad menor que delta y son distintos de "a", entonces los correspondientes valores de f(x) distan de "l" una cantidad menor que epsilon.

Si obervamos $ 0<|x-a|< \delta $ podemos ver que a "a" no se le exige la condición ya que en los límites sólo se estudia el comportamiento en las proximidades.

Propiedades de los límites Editar

  • El límite de una función en un punto si existe , es único y es igual a los límites laterales.
  • Si una función tiene limite distinto de cero en un punto entonces existe un entorno del punto en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que el límite .
  • $ \lim_{x\to a}f+g=\lim_{x\to a}f + \lim_{x\to a}g $
  • $ \lim_{x\to a}f\cdot g=\lim_{x\to a}f \cdot \lim_{x\to a}g $
  • $ \lim_{x\to a}k\cdot f=k\cdot \lim_{x\to a}f $ Si $ k $ es una constante.
  • $ \lim_{x\to a}\frac{f}{g}=\frac{\lim_{x\to a}f}{\lim_{x\to a}g} $ si $ \lim_{x\to a}g\ne 0 $


Unicidad del Límite Editar

Como se ha dicho en el apartado anterior, si $ f(x) $ tiene límite cuando $ x \to a $, este es único. Es decir:

$ Si \quad \exists \quad \lim_{ x \to a}f(x) $ es único.

Como apliación, se puede utilizar para el cálculo de algunos límites, ya que si la función no tiende a un valor único en "a", entonces no existe el límite.

Por ejemplo:

$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}} $

Primero realizaremos el límite por la derecha y luego el límite por la izquierda, si son iguales entonces existe el límite:

Por la derecha:

$ \lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1+e^{\infty}}=1 $

Por la izquierda:

$ \lim_{x \to 0^{-}}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1+e^{-\infty}}=0 $

Como podemos observar el límite no existe puesto que los dos límites laterales son diferentes.


Propiedades de las Funciones que tienen límite Editar

Graficox-5

Las dos funciones son idénticas

  1. Si dos funciones $ f(x) $ y $ g(x) $ tienen idéntico comportamiento en las proximidades de "a" (pero no necesariamente en "a"), entonces las dos tienen el mismo límite cuando $ x \to a $. Es decir:

$ \lim_{x \to a} f(x)=\lim_{x \to a} g(x) $

Por ejemplo tenemos las siguientes funciones:

$ f(x)=\frac{x^2+25}{x+5} $
$ g(x)=x-5 $

Aunque parezcan iguales no lo son porque para $ f(x), x=5 \quad \notin dom f $ y para $ g(x) x=5 \quad \in dom g $ En todos los demás puntos son iguales, entonces aplicando la primera propiedad, tendríamos que el límite es el mismo, apliquemos pues el límite:

$ \lim_{x \to 5^{-}}\frac{x^2+25}{x+5}=\lim_{x \to 5^{-}}x-5=-10 $