Fandom

Math

Matriz

168páginas en
el wiki
Crear una página
Discusión0 Compartir

Se llama matriz de m filas y n columnas a una tabla de m x n números ordenados de la siguiente manera:

\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1m}\\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2m}\\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nm}\\
\end{pmatrix}

Se dice que una matriz de m filas y n columnas es de orden o dimensión m x n. El conjunto de todas las matrices de orden m x n se representa como \mathcal{M} _{m \times n}

Una matriz como la anterior puede considerarse formada por m vectores fila de dimensión n, o también constituida por n vectores columna de dimensión m. Así, los vectores fila de la matriz son:

u_{1}=(a_{11}, a{12},\cdots ,a_{1n}),
u_{2}=(a_{21}, a{22},\cdots ,a_{2n}),
\vdots
u_{m}=(a_{m1}, a{m2},\cdots ,a_{mn});

y los vectores columna son:

v_{1} = \begin{pmatrix}
a_{11}\\
a_{21}\\
\vdots \\
a_{m1}\\
\end{pmatrix} v_{2} = \begin{pmatrix}
a_{12}\\
a_{22}\\
\vdots \\
a_{m2}\\
\end{pmatrix} \cdots v_{n} = \begin{pmatrix}
a_{1n}\\
a_{2n}\\
\vdots \\
a_{mn}\\
\end{pmatrix}

Las matrices que tienen tantas filas como columnas, es decir, que son de orden n x n, se llaman matrices cuadradas de orden n.

Simbólicamente, una matriz se indica mediante la notación A=(a_{ij}) siendo i=1,2,\cdots ,m, y j=1,2,\cdots ,n. En la expresión anterior, a_{ij} representa el elemento de la matriz que ocupa la posición que corresponde a la fila i y la columna j.

Dos matrices son iguales si son del mismo orden y los elementos que ocupan la misa posición son iguales en ambas matrices.


Operaciones con matrices Editar

  • Dadas dos matrices del mismo orden A=(a_{ij}) y B=(b_{ij}), se define la adición o suma A+B como la matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de las matrices A y B que ocupan las posiciones correspondientes; es decir:
A+B=\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1m}\\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2m}\\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nm}\\
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
  b_{11} & b_{12} & b_{13} & \cdots & b_{1m}\\
  b_{21} & b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2m}\\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  b_{n1} & b_{n2} & b_{n3} & \cdots & b_{nm}\\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
  a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} & \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\
  a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} & \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & a_{m3}+b_{m3} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}\\
\end{pmatrix}

Simbólicamente, la suma de matrices se escribe: (a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij}) para i=1,2,\cdots ,m, y j=1,2,\cdots ,n.

Se llama matriz nula y se representa como O, a la matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero.

Dada una matriz A, se llama matriz opuesta de A, y se representa por -A, a la matriz del mismo orden que A que tiene por elementos los opuestos de los correspondientes elementos de la matriz A. Simbólicamente, si A=(a_{ij}), sui opuesta es -A=(-a_{ij}).

Como es habitual, se entiende por restar una matriz B a otra A a la operación que consiste en sumar la opuesta de B a A.

  • Se define el producto \lambda \cdot A de un número (escalar) \lambda por una matriz A a la matriz que resulta de multiplicar todos los elementos de la matriz A por la constante \lambda; es decir:
\lambda \cdot A=\lambda \begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1m}\\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2m}\\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nm}\\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
  \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \lambda a_{13} & \cdots & \lambda a_{1m}\\
  \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \lambda a_{23} & \cdots & \lambda a_{2m}\\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  \lambda a_{n1} & \lambda a_{n2} & \lambda a_{n3} & \cdots & \lambda a_{nm}\\
\end{pmatrix}

Simbólicamente, la multiplicación de un escalar por una matriz se expresa:

\lambda (a_{ij})=(\lambda a_{ij}), con i=1,2,\cdots ,m, y j=1,2,\cdots ,n
  • Las propiedades fundamentales de la adición de matrices y el producto y el producto de escalares por matrices son: \forall A, B, C \in \mathcal{M} _{m \times n}\;y\;\forall \lambda , \mu \in \mathbb{R}:
  1. (A+B)+C=A+(B+C)\quad (Asociativa);
  2. A+O=O+A=A\quad (Existencia\;de\;elemento\;neutro:\;la\;matriz\;nula);
  3. A+(-A)=(-A)+A=O\quad (Existencia\;de\;elemento\;opuesto);
  4. A+B=B+A\quad (Conmutativa);
  5. \lambda (A+B)=\lambda A+ \lambda B;
  6. (\lambda + \mu)A =\lambda A + \mu A;
  7. 1A=A;
  8. (\lambda \mu )A=\lambda (\mu A).

Véase también Editar

¡Interferencia de bloqueo de anuncios detectada!


Wikia es un sitio libre de uso que hace dinero de la publicidad. Contamos con una experiencia modificada para los visitantes que utilizan el bloqueo de anuncios

Wikia no es accesible si se han hecho aún más modificaciones. Si se quita el bloqueador de anuncios personalizado, la página cargará como se esperaba.

También en Fandom

Wiki al azar