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Se llama matriz de m filas y n columnas a una tabla de m x n números ordenados de la siguiente manera:

$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nm}\\ \end{pmatrix} $

Se dice que una matriz de m filas y n columnas es de orden o dimensión m x n. El conjunto de todas las matrices de orden m x n se representa como $ \mathcal{M} _{m \times n} $

Una matriz como la anterior puede considerarse formada por m vectores fila de dimensión n, o también constituida por n vectores columna de dimensión m. Así, los vectores fila de la matriz son:

$ u_{1}=(a_{11}, a{12},\cdots ,a_{1n}) $,
$ u_{2}=(a_{21}, a{22},\cdots ,a_{2n}) $,
$ \vdots $
$ u_{m}=(a_{m1}, a{m2},\cdots ,a_{mn}) $;

y los vectores columna son:

$ v_{1} = \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1}\\ \end{pmatrix} $ $ v_{2} = \begin{pmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots \\ a_{m2}\\ \end{pmatrix} $ $ \cdots $ $ v_{n} = \begin{pmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots \\ a_{mn}\\ \end{pmatrix} $

Las matrices que tienen tantas filas como columnas, es decir, que son de orden n x n, se llaman matrices cuadradas de orden n.

Simbólicamente, una matriz se indica mediante la notación $ A=(a_{ij}) $ siendo $ i=1,2,\cdots ,m $, y $ j=1,2,\cdots ,n $. En la expresión anterior, $ a_{ij} $ representa el elemento de la matriz que ocupa la posición que corresponde a la fila i y la columna j.

Dos matrices son iguales si son del mismo orden y los elementos que ocupan la misa posición son iguales en ambas matrices.


Operaciones con matrices Editar

  • Dadas dos matrices del mismo orden $ A=(a_{ij}) $ y $ B=(b_{ij}) $, se define la adición o suma A+B como la matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de las matrices A y B que ocupan las posiciones correspondientes; es decir:
$ A+B=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nm}\\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & \cdots & b_{1m}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2m}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & b_{n3} & \cdots & b_{nm}\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} & \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} & \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & a_{m3}+b_{m3} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix} $

Simbólicamente, la suma de matrices se escribe: $ (a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij}) $ para $ i=1,2,\cdots ,m $, y $ j=1,2,\cdots ,n $.

Se llama matriz nula y se representa como O, a la matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero.

Dada una matriz A, se llama matriz opuesta de A, y se representa por -A, a la matriz del mismo orden que A que tiene por elementos los opuestos de los correspondientes elementos de la matriz A. Simbólicamente, si $ A=(a_{ij}) $, sui opuesta es $ -A=(-a_{ij}) $.

Como es habitual, se entiende por restar una matriz B a otra A a la operación que consiste en sumar la opuesta de B a A.

  • Se define el producto $ \lambda \cdot A $ de un número (escalar) $ \lambda $ por una matriz A a la matriz que resulta de multiplicar todos los elementos de la matriz A por la constante $ \lambda $; es decir:
$ \lambda \cdot A=\lambda \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nm}\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \lambda a_{13} & \cdots & \lambda a_{1m}\\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \lambda a_{23} & \cdots & \lambda a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda a_{n1} & \lambda a_{n2} & \lambda a_{n3} & \cdots & \lambda a_{nm}\\ \end{pmatrix} $

Simbólicamente, la multiplicación de un escalar por una matriz se expresa:

$ \lambda (a_{ij})=(\lambda a_{ij}) $, con $ i=1,2,\cdots ,m $, y $ j=1,2,\cdots ,n $
  • Las propiedades fundamentales de la adición de matrices y el producto y el producto de escalares por matrices son: $ \forall A, B, C \in \mathcal{M} _{m \times n}\;y\;\forall \lambda , \mu \in \mathbb{R} $:
  1. $ (A+B)+C=A+(B+C)\quad (Asociativa) $;
  2. $ A+O=O+A=A\quad (Existencia\;de\;elemento\;neutro:\;la\;matriz\;nula) $;
  3. $ A+(-A)=(-A)+A=O\quad (Existencia\;de\;elemento\;opuesto) $;
  4. $ A+B=B+A\quad (Conmutativa) $;
  5. $ \lambda (A+B)=\lambda A+ \lambda B $;
  6. $ (\lambda + \mu)A =\lambda A + \mu A $;
  7. $ 1A=A $;
  8. $ (\lambda \mu )A=\lambda (\mu A) $.

Véase también Editar