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El número entero es un número natural pero que también puede ser negativo. Este grupo de números engloba a los naturales, es decir todos los números naturales están dentro de los números enteros. El símbolo de los números enteros es $\mathbb{Z}$ . Todos los elementos del conjunto de los números enteros cumplen los siguientes axiomas:

Axioma 1 La suma y el producto son leyes de compisición interna:

$\forall\quad a,b\in \mathbb{Z}\quad \Longrightarrow \quad a+b\in\mathbb{Z}, \quad ab \in \mathbb{Z}$

Axioma 2 La suma y la multiplicación son asociativas:

$\forall\quad a,b\in \mathbb{Z}\quad \Longrightarrow \quad a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c, \quad a(bc)=(ab)c=abc$

Axioma 3 Existe el elemento neutro 0 en la suma y 1 en la multiplicación:

$\forall\quad a,b\in \mathbb{Z}\quad \Longrightarrow a+0=0+a=a, \quad a1=1a =a$

Axioma 4 Existe elemento opuesto:

$\forall\quad a,b\in \mathbb{Z}\quad \exists -a\in \mathbb{Z}\quad\Longrightarrow \quad a+(-a)=(-a)+a=0$

Axioma 5 La multiplicación y la suma son conmutativas:

$\forall\quad a,b\in \mathbb{Z}\quad \Longrightarrow \quad a+b=b+a, \quad ab=ba$

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