Potencia de un punto

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Potencia del punto P

Definición

Si P es un punto y C un círculo fijo, la potencia del punto P respecto a C es el producto de sus distancias a cualquier par de puntos en la circunferencia alineados con P.

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El punto puede estar en el exterior del círculo

De manera más formal, si P es un punto y una recta que pasa por P corta a la circunferencia en A, B, la potencia de P se define como el producto PA × PB. el cual es independiente de la elección de la recta, como se muestra en la figura.

El punto P puede estar localizado en cualquier parte del plano, no sólo en el interior del círculo. Usualmente se consideran segmentos dirigidos por lo que hay 3 casos para el signo de la potencia:

• Si el punto P está en el interior del círculo, la potencia toma valor negativo, pues PA y PB tienen sentido opuesto.
• Si el punto P está en el exterior del círculo, la potencia toma valor positivo.
• Si el punto P está sobre la circunferencia, la potencia es igual a cero (pues A=P o B=P).

Relación con semejanza

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Los triángulos A₁PB₂ y A₂PB₁ son semejantes.

El hecho de que la potencia de un punto sea independiente de la recta está relacionado con semejanza de triángulos. Dibujando dos secantes y uniendo los puntos A y los puntos B respectivamente, obtenemos dos triángulos A₁PB₁ y A₂PB₂

Los ángulos PA₁A₂ y PB₂B₁ son iguales, ambos miden la mitad del arco B₁A₂. Como el ángulo A₁PB₁ es igual al ángulo A₂PB₂, los triángulos A₁PB₂ y A₂PB₁ son semejantes.

De la semejanza se tiene que

$\frac{PA_1}{PA_2} = \frac{PB_2}{PB_1}$

por lo que

$PA_1\cdot PB_1 = PA_2\cdot PB_2$

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El caso de la tangente

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La tangente es un caso límite cuando los puntos de corte se unen.

Un caso especial se obtiene cuando el punto es exterior y la recta es tangente al círculo. Si PT es una tangente al círculo, entonces la relación de potencia de punto se convierte en PA · PB = PT². La prueba es similar a la dada para el caso general, obteniendo aquí que los triángulos PTB y PAT son semejantes. Intuitivamente, puede entenderse la relación anterior como el caso límite en que los puntos A y B coinciden.

Lugares geométricos

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Cálculo de la potencia a partir del radio y la distancia al centro

Dado un círculo C y un número k fijos, nos podemos preguntar por todos aquellos puntos que tengan el número escogido como su potencia. En otras palabras, nos preguntamos por el lugar geométrico de los puntos cuya potencia respecto a C es igual a k.

La respuesta a la pregunta anterior se obtiene mediante la fórmula radio-distancia, que permite calcular la potencia de un punto si se conoce el radio del círculo y la distancia del punto al centro.

Tracemos el diámetro del círculo que pasa por P. Si calculamos la potencia sobre el diámetro obtenemos (r-d)(r+d)=r²-d², Sin embargo, tal operación no toma en cuenta que d-r y d tienen sentidos opuestos, por lo que un ajuste de signos nos da el resultado

$PA\cdot PB = d^2 - r^2$.

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Los puntos del mismo color tienen la misma potencia respecto a C.

La fórmula anterior, nos permite calcular la potencia conociendo el radio del círculo y su distancia al centro. Como consecuencia, todos los puntos a una misma distancia del centro tienen la misma potencia, y viceversa, puntos con la misma potencia son equidistantes del centro.

Un problema similar consiste en determinar el conjunto de puntos cuyas potencias respecto a dos círculos fijos son iguales. En este caso, el lugar geométrico consiste en una recta, denominada eje radical.

Construcción de la media geométrica de dos segmentos

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Construcción de la media geométrica de dos segmentos

Una aplicación de la potencia de un punto, es permitir una construcción de la media geométrica de dos segmentos. Dados dos segmentos de longitudes m y n, la media geométrica es un segmento de longitud $\sqrt{mn}$. El caso en que m=n es trivial puesto que la media geométrica es igual a ambos. Supongamos entonces que m<n.

Dibújese un segmento PA de longitud n, y dentro de él encuéntrese un punto B tal que PB tenga longitud n. Constrúyase un círculo con diámetro AB, el cual tiene longitud n-m. Finalmente, trácese la tangente a tal círculo desde P. Por la propiedad de la tangente, PT²=PA·PB=m·n, por lo que PT tiene longitud $\sqrt{mn}$. Es decir, PT es la media geométrica de PA y PB.

Véase también

• Eje radical
• El problema de Apolonio
• Demostración del teorema del coseno