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Producto cuña

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Si \alpha, \beta son uno-formas en un espacio diferenciable \mathbb{R}^n y X, Y dos campos vectoriales entonces el producto cuña o producto exterior de las dos 1-formas se define como el mapeo \alpha \wedge \beta : T\mathbb{R}^n \times T\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} dado por la ecuación

(\alpha \wedge \beta)(X,Y) = \alpha(X)\beta(Y)-\alpha(Y)\beta(X).

Así, \alpha \wedge \beta es una dos-forma.

Este producto tiene la propiedad de ser anti-simétricos:

(\alpha \wedge \beta)(X,Y) = \alpha(X)\beta(Y)-\alpha(Y)\beta(X) = - [\alpha(Y)\beta(X) - \alpha(X)\beta(Y)] = - (\alpha \wedge \beta)(Y,X)

así como

\alpha \wedge \alpha = -\alpha \wedge \alpha = 0.

De manera general \alpha \wedge \beta = (A_{s} B_{t} - A_{t} B_{s})dx^{s}\wedge dx^{t} para todo \alpha = A_{i}dx^{i}, \beta = B_{i}dx^{i} \in \mathbb{R}^n con 1< s < t < n, donde se está haciendo de la convención de la suma de Einstein.

En particular, si n = 3, esto se relacionacon el producto cruz de los objetos

\mathbf{A} = A_1 \mathbf{\hat {i}} + A_2 \mathbf{\hat {j}} + A_3 \mathbf{\hat {k}}
\mathbf{B} = B_1 \mathbf{\hat {i}} + B_2 \mathbf{\hat {j}} + B_3 \mathbf{\hat {k}}

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