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Aproximaciones de la función f(x)=sinx

La serie de Taylor de una función que tiene grado de derivación $ f^{(n)} $ y en las proximidades del punto $ a $ se define como :

$ \sum_{n=0}^{\infty} (x-a)^n\frac{f^{(n)}(a)}{n!} $

donde $ n! $ es el factorial, $ f^{(n)} $ la enesima derivada y $ a $ el punto por donde se quiere calcular la serie de taylor.

En el caso en el que $ a=0 $ se llama serie de McLaurin.

Todas las funciones, como se puede ver, pueden ser escritas en forma de polinomios lo que hace más sencillo algunas operaciones tales como:

Algunas series importantes de Taylor Editar

A continuación se enumeran unos cuantos desarrollos importantes:

Función exponencial y logaritmo natural:

$ e^x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} $
$ \ln(1+x) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1 $

Serie geométrica

$ \frac{1}{1-x} = \sum^{\infty}_{n=0} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1 $

Funciones trigonométricas

$ \sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x $
$ \cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x $
$ \tan x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} $
$ \sec x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} $
$ \arcsin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1 $
$ \arctan x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1 $