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A continuación se muestra una tabla de integrales. Es fácil demostrar su validez derivando el resultado ( $C$ es una constante arbitraria):

$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} +C\quad (n\ne -1)$
$\int \frac{dx}{x} =ln|x|+C$
$\int senx\ dx=-cosx+C$
$\int cosx\ dx=senx+C$
$\int \frac{dx}{cos^{2}x}=tgx+C$
$\int \frac{dx}{sen^{2}x}=tgx+C$
$\int tgx\ dx=-ln|cosx|+C$
$\int cotgx\ dx=ln|senx|+C$
$\int a^{x}\ dx=\frac{a^x}{lna} +C$
$\int e^{x}\ dx=e^{x}+C$
$\int \frac{dx}{a^{2}+x^2}\ dx=\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C$
$\int \frac{dx}{a^{2}-x^2}\ dx=\frac{1}{2a}ln\left | \frac{a+x}{a-x} \right \vert +C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^2}}\ dx= arcsen\frac{x}{a} +C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a^2}}\ dx= ln|x+\sqrt{x^{2}\pm a^2}|+C$

Sabemos que $(lnf(x))'=\frac{f'(x)}{f(x)}$ , por lo tanto $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\ dx=ln|f(x)|+C$ . De aquí podemos deducir la integral número 7: $\int tgx\ dx=\int \frac{senx}{cosx}\ dx$ con lo dicho anteriormente, y puesto que en el númerador tenemos la menos derivada del denominador: $\int tgx\ dx=\int \frac{senx}{cosx}\ dx=-ln|cosx|+C$