FANDOM

176 Páginas

Teorema El intervalo $ I=[a,b] $ es compacto

Spivak1

...


Demostración: Sea $ \mathcal{O} $ una cubierta abierta de $ I $ y sea $ A=\{x\in I: $ el subintervalo $ [a,x] $ es recubierto por finitos elementos de $ \mathcal{O}\} $.

Observemos que $ a \in A $ pues como la familia $ \mathcal{O} $ cubre a I, pues basta entonces elegir un $ W \in \mathcal{O} $ tal que $ a \in W $.

Como $ b $ acota superiormente a $ A $ entonces existe $ sup A= \alpha \le b $.

Queremos demostrar que $ b \in A $, y para esto debemos hacer dos cosas acerca de $ \alpha $:

  1. $ \alpha \in A $
  2. $ b= \alpha $

Como $ \alpha \in A \Rightarrow \exists U \in \mathcal{O} $ tal que $ \alpha \in U $.

$ \exists B_{\epsilon}(\alpha) \subset U $ y si $ x \in B_{\epsilon}(\alpha) \Rightarrow x \in U $.

Puesto que $ \alpha = sup A $ $ \exists y \in A $ tal que $ y \in U $.

$ \/ \therefore [a,y] $ se cubre con finitos abiertos de $ \mathcal {O} $, mientras que $ [y,\alpha] \subset U $ con uno solo de $ \mathcal {O} $. Entonces $ [a,\alpha] $ está recubierto por un número finito de abiertos de $ \mathcal {O} $ y así $ \alpha \in A $ lo cual demuestra (1).

Supongamos ahora que $ \alpha < b $, entonces $ \exists z, \alpha < z < b: [\alpha, z] \subset U $, y así $ [\alpha,z] $ está recubierto por finitos elementos de $ O $, i.e. $ z \in A $ lo cual contradice que $ sup A= \alpha $ $ \/\Rightarrow \alpha = b $, que establece a (2)

$ \Box $





--200.92.141.248 04:01 28 feb 2008 (UTC) Rmz-Rmz E.C.