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Teorema El intervalo I=[a,b] es compacto

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Demostración: Sea \mathcal{O} una cubierta abierta de I y sea A=\{x\in I: el subintervalo [a,x] es recubierto por finitos elementos de \mathcal{O}\}.

Observemos que a \in A pues como la familia \mathcal{O} cubre a I, pues basta entonces elegir un W \in \mathcal{O} tal que a \in W.

Como b acota superiormente a A entonces existe sup A= \alpha \le b.

Queremos demostrar que b \in A, y para esto debemos hacer dos cosas acerca de \alpha:

  1. \alpha \in A
  2. b= \alpha

Como \alpha \in A \Rightarrow \exists U \in \mathcal{O} tal que \alpha \in U.

 \exists B_{\epsilon}(\alpha) \subset U y si x \in B_{\epsilon}(\alpha) \Rightarrow x \in U.

Puesto que \alpha = sup A  \exists y \in A tal que y \in U.

No se pudo entender (error léxico): \/ \therefore [a,y]

se cubre con finitos abiertos de  \mathcal {O}, mientras que [y,\alpha] \subset U con uno solo de  \mathcal {O}.  Entonces  [a,\alpha] está recubierto por un número finito de abiertos de  \mathcal {O} y así \alpha \in A lo cual demuestra (1).

Supongamos ahora que \alpha < b, entonces \exists z, \alpha < z < b: [\alpha, z] \subset U, y así [\alpha,z] está recubierto por finitos elementos de O, i.e. z \in A lo cual contradice que sup A= \alpha No se pudo entender (error léxico): \/\Rightarrow \alpha = b , que establece a (2)

\Box





--200.92.141.248 04:01 28 feb 2008 (UTC) Rmz-Rmz E.C.

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