Teorema de Heine-Borel

Teorema El intervalo $I=[a,b]$ es compacto

...

Demostración: Sea $\mathcal{O}$ una cubierta abierta de $I$ y sea $A=\{x\in I:$ el subintervalo $[a,x]$ es recubierto por finitos elementos de $\mathcal{O}\}$.

Observemos que $a \in A$ pues como la familia $\mathcal{O}$ cubre a I, pues basta entonces elegir un $W \in \mathcal{O}$ tal que $a \in W$.

Como $b$ acota superiormente a $A$ entonces existe $sup A= \alpha \le b$.

Queremos demostrar que $b \in A$, y para esto debemos hacer dos cosas acerca de $\alpha$:

1. $\alpha \in A$
2. $b= \alpha$

Como $\alpha \in A \Rightarrow \exists U \in \mathcal{O}$ tal que $\alpha \in U$.

$\exists B_{\epsilon}(\alpha) \subset U$ y si $x \in B_{\epsilon}(\alpha) \Rightarrow x \in U$.

Puesto que $\alpha = sup A$ $\exists y \in A$ tal que $y \in U$.

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \/ \therefore [a,y]} se cubre con finitos abiertos de $\mathcal{O}$, mientras que $[y,\alpha] \subset U$ con uno solo de $\mathcal{O}$. Entonces $[a,\alpha]$ está recubierto por un número finito de abiertos de $\mathcal{O}$ y así $\alpha \in A$ lo cual demuestra (1).

Supongamos ahora que $\alpha < b$, entonces $\exists z, \alpha < z < b: [\alpha, z] \subset U$, y así $[\alpha,z]$ está recubierto por finitos elementos de $O$, i.e. $z \in A$ lo cual contradice que $sup A= \alpha$ Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \/\Rightarrow \alpha = b} , que establece a (2)

$\Box$

--200.92.141.248 04:01 28 feb 2008 (UTC) Rmz-Rmz E.C.