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Trigonometría

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Coseno y Seno

La trigonometría es una rama de la geometría que estudia los ángulos, los triángulos y sus propiedades. Puesto que trata de ángulos a continuación se definirán tres unidades diferentes de ángulos.

Unidades de los ángulos Editar

Los ángulos son una variable importante en la trigonometría y por lo tanto es importante conocer las posibles unidades de éstos. En la vida cotidiana se suele utilizar el grado sexagesimal, pero en matemáticas lo más utilizado habitualmente son los radianes. Existen tres tipos de unidades importantes para medir los grados:

  1. Radián: es la unidad que se emplea habitualmente. En una circunferencia hay 2π radianes.
  2. Grado sexagesimal: unidad utilizada habitualmente en la vida cotidiana, pero que no se suele utilizar en la trigonometría. Una circunferencia tiene 360º.
  3. Grado centesimal: unidad poco utilizada que dividide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Funciones trigonométricas básicas Editar

Existen tres funciones diferentes que son básicas en la trigonometría: el seno, el coseno y la tangente. Todas ellas se definen con un triángulo rectángulo y con un ángulo cualquiera, α, entre un cateto y la hipotenusa. (Cateto opuesto: a, cateto contiguo: b e hipotenusa: c).

600px-Triángulo-en-círculo.svg.png

Seno Editar

El seno de un ángulo cualquiera α, es la división del cateto opuesto al ángulo entre la hipotenusa, es decir:

\sin(\alpha)=\frac{a}{c}

Coseno Editar

El coseno de un ángulo cualquiera α, es la división del cateto contiguo al ángulo entre la hipotenusa, es decir:

\cos(\alpha)=\frac{b}{c}

Tangente Editar

La tangente de un ángulo cualquiera α, es la división del cateto opuesto al ángulo entre el cateto contiguo, es decir:

\tan(\alpha)=\frac{a}{b}

pero despejando en la primera ecuación A y en la segunda B, nos queda:

a=\sin(\alpha)\cdot c
Y
b=\cos(\alpha)\cdot c
Es decir:
\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)\cdot c}{\cos(\alpha)\cdot c}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}

Funciones trigonométricas inversas Editar

Se definen como funciones trigonométricas inversas el cosecante, la secante y la cotangente.

Cosecante Editar

El cosecante es el inverso del seno. Es decir:

Cosec(\alpha)=\frac{1}{\sin(\alpha)}

Secante Editar

La secante es el inverso del coseno. Es decir:

Sec(\alpha)=\frac{1}{cos(\alpha)}

Cotangente Editar

La contangente es el inverso de la tangente. Es decir:

cot(\alpha)=\frac{1}{\tan(\alpha)}

o por la fórmula anterior de la tangente:

cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}

Arcoseno, arcocoseno y arcotangente Editar

Se define arcoseno de alfa (y para el resto es equivalente) como la función que nos da el valor del arco cuyo seno es alfa. Esto se puede hacer gracias a que realmente los radianes es la longitud del arco de una circunferencia de radio 1. Como se utilizan los radianes para los ángulos, ese valor

\sin(\alpha)=x

el arcoseno será:

\arcsin(x)=\alpha

Si tenemos las dos operaciones en el mismo valor, dará el valor en sí, es decir:

\arcsin(\sin(\alpha))=\alpha

ArcocosenoEditar

Si tenemos lo siguiente para el coseno:

\cos(\alpha)=x

el arcocoseno será:

\arccos(x)=\alpha

Si tenemos las dos operaciones en el mismo valor, dará el valor en sí, es decir:

\arccos(\cos(\alpha))=\alpha

Arcotangente Editar

Si tenemos lo siguiente para la tangente:

\tan(\alpha)=x

el arcotangente será:

\arctan(x)=\alpha

Si tenemos las dos operaciones en el mismo valor, dará el valor en sí, es decir:

\arctan(\tan(\alpha))=\alpha

Valores importantes de las funciones trigonométricas Editar

A continuación se muestra una tabla con los valores más importantes y utilizados en el campo de la trigonometría:

Radián Ángulo sen cos tan csc sec ctg
 0  \;  0^o \, 0 1 0 \, \infty 1 \, \infty
 \frac{\pi}{6} 30^o \, \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{\sqrt{3}} 2 \, \frac{2\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}
 \frac{\pi}{4} 45^o \, \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 \, \sqrt{2} \sqrt{2} 1 \,
 \frac{\pi}{3} 60^o \, \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{2\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{\sqrt{3}}{3}
 \frac{\pi}{2} 90^o \, 1 0 \infty 1 \, \infty 0 \,

Identidades trigonométricas Editar

Esta es la identidad básica de la trigonometría. A continuación se muestran otras identidades importantes dentro de la trigonometría:

\sin (2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) Editar

  • \cos (2\alpha) = \cos^2 (\alpha) - \sin^2 (\alpha)
  • \sin (\alpha \pm \beta) = \sin (\alpha) \cos(\beta) \pm \sin (\beta) \cos(\alpha)
  • \cos (\alpha \pm \beta) = \cos (\alpha) \cos(\beta) \mp \sin (\beta) \sin(\alpha)

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