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Suma de vectores

Scalar multiplication of vectors.png

Producto escalar

Un vector es un elemento de una estructura algebraica llamada espacio vectorial, que esencialmente es un conjunto de elementos con un conjunto de axiomas que debe satisfacer cada uno de ellos. El espacio vectorial más pequeño es el {0} y no hay ninguno que los contenga a todos, ya que cualquier espacio vectorial puede constar de infinitos elementos; por ejemplo, el conjunto de los números reales. Matemáticamente un vector puede ser también un conjunto de elementos ordenados entre sí pero a diferencia de un conjunto normal como el de los números naturales, éste está ordenado.

Se llama vector de dimensión n a un conjunto ordenado de n números reales (que se llaman componentes del vector):

v=(a1, a2, a3, ...,an).

El conjunto de todos los vectores de dimensión n se representa como \mathbb{R}^n

Dados dos vectores v=(a1, a2, a3, ...,an) y u=(b1, b2, b3, ...,bn), se define la adición o suma de vectores como:

u+v=(a1+b1, a2+b2, a3+b3, ...an+bn).

El producto de un número escalar cualquiera λ por un vector v=(a1, a2, a3, ...,an) se define como:

λ.v = v=λ(a1, a2, a3, ...,an)=(λ.a1, λ.a2, λ.a3, ...,λ.an).


Propiedades fundamentales Editar

∀ a,b,c\in \mathbb{R}^n y ∀ λ,μ \in \mathbb{R}

  • Propiedad Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
  • Propiedad Conmutativa: a + b = b + a
  • Elemento opuesto: a + (-a) = 0
  • Elemento neutro: a + 0 = a
  • λ(u + v) = λu + λv
  • (λ + μ)a = aλ + aμ
  • 1a = a
  • (λμ)a = λ(μa)

Dependencia e independencia lineal Editar

Dados k vectores u_{1}, u_{2}, u_{3},...u_{k} de dimensión n, se llama combinación lineal de estos vectores a cualquier expresión de la forma:

\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2}+...+\lambda _{k}u_{k}

Se dice que un conjunto de k vectores {u_{1}, u_{2}, u_{3},...u_{k}} de dimensión n es linealmente dependiente si alguno de ellos, que se puede suponer u_{1}, es combinación lineal de los otros. Simbólicamente:

{u_{1}, u_{2}, u_{3},...u_{k}} es\;linealmente\;dependiente\;\iff \exists u_{1}\;tal\;que\;u_{1}=\lambda _{2}u_{2}+\lambda _{3}u_{3}+...+\lambda _{k}u_{k}

Así, el conjunto de k vectores es linealmente independiente si

 \stackrel{\to}0=\lambda_{1}u_{1} +\lambda _{2}u_{2}+\lambda _{3}u_{3}+...+\lambda _{k}u_{k} \iff \lambda_{1}=\lambda _{2}=...=\lambda _{k}=0

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